مقدمه
 
79075440421498864801.gif

علومی که از یونان باستان توسط اندیشمندان اسلامی محافظت و تکمیل شد، از قرون یازدهم میلادی به بعد به اروپا منتقل شد، بیشتر شامل ریاضی و فلسفه ی طبیعی بود. فلسفه ی طبیعی توسط کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد.

کوپرنیک، برونو، کپلر و گالیله به چالش کشیده شد و از آن میان فیزیک نیوتنی بیرون آمد. چون کلیسا خود را مدافع فلسفه طبیعی یونان می دانست و کنکاش در آن با خطرات زیادی همراه بود، اندیشمندان کنجکاو بیشتر به ریاضیات می پرداختند، زیرا کلیسا نسبت به آن حساسیت نشان نمی داد. بنابراین ریاضیات نسبت به فیزیک از پیشرفت بیشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه ی اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ی اقلیدسی یکسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می کردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یک نقطه خارج از یک خط، یک خط و تنها یک خط می توان موازی با خط مفروض رسم کرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند که این اصل را می توان به عنوان یک قضیه ثابت کرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی کردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان کردند و هندسه های نااقلیدسی شکل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.






 اصطلاحات بنیادی ریاضیات

طی قرنهای متمادی ریاضیدانان اشیاء و موضوع های مورد مطلعه ی خود از قبیل نقطه و خط و عدد را همچون کمیت هایی در نظر میگرفتند که در نفس خویش وجود دارند. این موجودات همواره همه ی کوششهای را که برای تعریف و توصیف شایسته ی آنان انجام می شد را با شکست مواجه می ساختند. بتدریج این نکته بر ریاضیدانان قرن نوزدهم آشکار گردید که تعیین مفهوم این موجودات نمی تواند در داخل ریاضیات معنایی داشته باشد. حتی اگر اصولاً دارای معنایی باشند.
بنابراین، اینکه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم ریاضی نه قابل بحث است و نه احتیاجی به این بحث هست. یک وقت براتراند راسل گفته بود که ریاضیات موضوعی است که در آن نه می دانیم از چه سخن می گوییم و نه می دانیم آنچه که می گوییم درست است.
دلیل آن این است که برخی از اصطلاحات اولیه نظیر نقطه، خط وصفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تاثیری داشته باشد. مثلاً می توانیم به جای آنکه بگوییم دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کند، می توانیم بگوییم دو آلفا یک بتا را مشخص می کند. با وجود تغییری که در اصطلاحات دادیم، باز هم اثبات همه ی قضایای ما معتبر خواهد ماند، زیرا که دلیل های درست به شکل نمودار بسته نیستند، بلکه فقط به اصول موضوع که وضع شده اند و قواعد منطق بستگی دارند.بنابراین،ریاضیات تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازند به صورت هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتی از معنی فرضها یا راست بودن آنها نیست. این دیدگاه (صوریگرایی) با عقیده ی کهن تری که ریاضیات را حقیقت محض می پنداشت و کشف هندسه های نااقلیدسی بنای آن را درهم ریخت، جداایی اساسی دارد. این کشف اثر آزادی بخشی بر ریاضیدانان داشت.
تاریخچه هندسه
79075440421498864801.gif
واژه هندسه (Geometry) از دو واژه یونانی ژئو به معنی زمین و متری به معنی اندازه گیری آمده است، هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است.پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت میدهند ولی تمدنهای بابلی، هندی و چینی هم اصلاعات هندسی زیادی داشتند. احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آن‌ها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرومی‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد. بابلیان حدود 1600سال قبل از میلاد محیط دایره را 3 برابر قطرش میگرفتند، یعنی π را برابر 3  اختیار میكردند. در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند. مصریان با 11 گره، ریسمان را به 12 قسمت برابر تقسیم می كردند. دو سر ریسمان را به هم گره میزدند و  در محلی كه می خواستند زاویه ی قائمه می ساختند.یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیهٔ هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مساله‌ای به وسیلهٔ قضایا و حکم‌ها ثابت می‌گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به نام او مشهور است اثبات(ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود. خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آن‌ها احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م) و زنون (۴۹۰ ق. م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم کرد و جدولی بر اساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده‌است.بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سدهٔ پنجم میلادی آپاستامبا، در سدهٔ ششم، آریابهاتا، در سدهٔ هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آن‌ها را به طور منظم، در یک مجموعهٔ ۱۳ جلدی قرار داد. این کتاب‌ها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعهٔ هندسه به کار می‌رفتند. بر اساس این قوانین، هندسهٔ اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه فضایی هندسه تحلیلی،  هندسه برداری،  هندسه دیفرانسیل،  هندسه جبری،  هندسه محاسباتی،  هندسه اعداد صحیح،  هندسه اقلیدسی،  هندسه نااقلیدسی،  هندسه تصویری،  هندسه ریمانی،  هندسه ناجابجایی و  هندسه هذلولوی مطالعه می‌کنند.


هنـدسه مقـدماتی به دو شاخه تقسیـم می گردد :

هنـدسه مسطحه

هندسه فضایی


هندسه مسطحه Plane geometr


 نوع هندسه  
 تعداد خطوط موازی  جمع زوایا در مثلث  نسبت محیط به قطر دایره  خمیدگی
 لوباچفسکی   
 بی نهایت  کوچکتر از 180 درجه  بزرگتر از π  منفی ( کوچکتر از صفر  )
 اقلیدسی  1  180 درجه  π  صفر
 ریمانی  صفر  بزرگتر از 180 درجه  کوچکتر از π  مثبت ( بزرگتر از صفر )

 
24368075595460676139.gif
شاخه‌ای از هندسه است که با شکل‌های دو بعدی سروکار دارد.گرچه ما در دنیایی سه بعدی زندگی میکنیم مطالعه هندسه مسطحه می‌تواند بینش ما را نسبت به بعضی از ویژگی‌های اطرافمان عمیق کند.مفاهیم اساسی هندسه نیز،درست همان طور که مفهوم عدد از دنیایی مرئی مجرد شده است،از فرایندی تجریدی که قرن‌ها به طول انجامیده به دست آمده‌اند. در این مورد ،با چشم پوشی از تفاوت‌های غیر ذاتی، از قبیل رنگ،شکل یا ترکیب رویه ای،و عدم توجه به اختلاف‌های دیگر اشیای حقیقی،به صورتهای فضایی در سه بعد:طول ،عرض و ارتفاع می‌رسیم.
جسم فضایی سه بعد،اما رویه تنها دو بعد،خط مثلا لبه برخورد دو رویه،یک بعد و سرانجام ،نقطه،که به عنوان تقاطع دو خط در نظر گرفته میشود بعد صفر دارد. در هندسه مسطحه صفحه را همواره به صورتی که داده شده است در نظر می گیریم،و بررسی‌های هندسی را ،در حالت عمومی،در این صفحه انجام می‌دهیم،اما در حالت‌های خاص بهتر است که فضای اقلیدسی نیز به عنوان یک شی هندسی در نظر گرفته شود. نقطه‌ها و خط‌ها مفاهیم اساسی هندسه مسطحه مقدماتی اند.به طور شهودی،خط را اغلب به صورت مسیر نقطه‌ای تعریف می‌کنند که در صفحه به چنان طریقی حرکت می‌کند که همواره کوتاهترین راه بین دو مکان خود را اختیار می‌کند و تغییر سو نمی‌دهد: با این همه ،حتی در رهیافتی دقیق‌تر نیز هیچ گونه تعریفی از خط و نقطه داده نمی‌شود اما در ریاضیات جدید رابطه‌های بین این دو نوع شی هندسی توسط اصل موضوعه (axiom)ها مشخص می‌شوند
21222558035297094166.jpg
            هندسه اجسام( فضایی) SOLIDS GEOMETRY
           
         به بررسی موقعیت اجسام ، اجرام و نقاط متحرک یا ساکن در فضا می‌پردازد، فضا مختصاتی سه بعدی دارد شامل طول ، عرض ، ارتفاع که این ابعاد را با x ، y و z در صفحه مختصات فضایی نمایش می‌دهیم. مهمترین مبحث در هندسه فضایی مبحث بردارها می‌باشند. بنابراین در هندسه فضایی به مؤلفه‌های برداری ، بردارهای یکه ، صفحات ، فاصله‌ها و ... خواهیم پرداخت.
17670566684290334723.jpg   65353849241011865038.gif

در هندسه مدرن شاخه‌های زیر مورد مطالعه قرار می‌گیرند:

هندسه تصویری
هندسه تحلیلی
هندسه نااقلیدسی
هندسه اقلیدسی
هندسه هذلولوی
هندسه برداری
هندسه دیفرانسیل
هندسه جبری
هندسه محاسباتی 
هندسه اعداد صحیح
هندسه ریمانی
هندسه ناجابجایی
           
هندسه تصویری PROJECTIVE GEOMETRY
فرض کنید دو صفحه و در فضا داریم که لزوماً موازی یکدیگر نیستند. در این صورت، برای به دست آوردن تصویر مرکزی به روی از مرکز مفروض که در یا واقع نیست، می‌توان تصویر هر نقطه از را نقطه‌ای چون از تعریف کرد که و روی یک خط راست گذرنده از قرار داشته باشند.  همچنین می‌توان تصویر موازی را به این طریق به دست آورد که خطهای تصویر کننده را موازی در نظر بگیریم. همین‌طور تصویر یک خط در واقع صفحه به روی خط دیگری چون در هم به صورت تصویر مرکزی از یک نقطه ، و هم به صورت تصویر موازی تعریف می‌شود. تبدیل یک شکل به شکل دیگر از طریق تصویر موازی یا مرکزی و یا به وسیله رشته‌ای متناهی از این تصویر کردنها، تبدیل تصویری نامیده می‌شود.  هندسه تصویری صفحه یا خط عبارت از مجموعه آن گزاره‌های هندسی است که بر اثر تبدیلهای تصویری دلخواه شکلها تغییری در صدق آنها پدید نمی‌آید. در مقابل، هندسه متری به مجموعه‌ای از گزاره‌ها، راجعه به اندازه‌های شکلها، اطلاق می‌شود که فقط تحت حرکتهای صلب شکلها صادق می‌مانند


هندسه تحلیلی  ANALYTICAL GEOMETRY
شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی‌هایی در صفحه مختصات توصیف می‌شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی‌ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می‌گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته‌ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق‌العاده‌ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می‌توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می‌بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم



هندسه نااقلیدسی     NON EUCLIDEAN GEOMETRY
در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ریمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند كه هندسه را از سیطره اقلیدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین كالاى فكرى بود و پنداشته مى شد كه نظام اقلیدس یگانه نظامى است كه امكان پذیر است. این نظام بى چون و چرا توصیفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقلیدسى مدلى براى ساختار نظریه هاى علمى بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروى مى كردند. هندسه اقلیدسى بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایاى هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات مى شوند. اصل موضوعه پنجم اقلیدس مى گوید: «به ازاى هر خط و نقطه اى خارج آن خط، یك خط و تنها یك خط به موازات آن خط مفروض مى تواند از آن نقطه عبور كند.» هندسه «لباچفسكى» و هندسه «ریمانى» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانى» ممكن است خط صافى كه موازى خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نكند و در هندسه «لباچفسكى» ممكن است بیش از یك خط از آن نقطه عبور كند. با اندكى تسامح مى توان گفت این دو هندسه منحنى وار هستند. بدین معنا كه كوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یك منحنى است.
هندسه اقلیدسى فضایى را مفروض مى گیرد كه هیچ گونه خمیدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ریمانى این خمیدگى را مفروض مى گیرند. (مانند سطح یك كره) همچنین در هندسه هاى نااقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست. (در هندسه اقلیدسى جمع زوایاى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور این هندسه هاى عجیب و غریب براى ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتى روشن شد كه نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیكدانان به عنوان جایگزینى براى نظریه نیوتن از مكان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندى نسبیت عام اینشتین مبتنى بر هندسه «ریمانى» است. در این نظریه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشكارى میان ریاضیات محض و ریاضیات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سیستم هاى ریاضى مختلف است كه به وسیله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصیف شده اند. برخى از آنها چندبعدى و یا حتى nبعدى هستند. اما هندسه محض انتزاعى است و هیچ ربطى با جهان مادى ندارد یعنى فقط به روابط مفاهیم ریاضى با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه كاربردى به وسیله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهیم انتزاعى برحسب عناصرى تفسیر مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اینشتین براى تبیین حركت نور از هندسه نااقلیدسى استفاده كرد. بدین منظور هندسه «ریمانى» را برگزید.
هندسه اقلیدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در یك صفحه طرح ریزى شده است اما در عالم واقع یك چنین خط هاى راستى وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر میدان هاى گرانشى خمیده شده و به صورت منحنى در مى آید یعنى سیر نور مستقیم نیست بلكه به صورت منحنى ها و دایره هاى عظیمى است كه سطح كرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پدید مى آید خط سیرى منحنى دارد. براساس نسبیت عام نور در راستاى كوتاه ترین خطوط بین نقاط حركت مى كند اما گاهى این خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مكان - زمان مى شود.
در نظریه نسبیت عام گرانش یك نیرو نیست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان _ مكان بر حركت اشیا اطلاق مى كنیم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقلیدسى است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایى باشد كه ما با آن مى توانیم اشیا را مشاهده كنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسى معتقد بودند كه به وسیله آزمایش نمى توان تصمیم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقلیدسى است یا نااقلیدسى. چون مى توان نیروهایى به سیستم مبتنى بر هندسه اقلیدسى اضافه كرد به طورى كه شبیه اثرات ساختار نااقلیدسى باشد. نیروهایى كه اندازه گیرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند كه پدیده هایى سازگار با زمان - مكان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایى» مشهور است كه نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوى «هنرى پوانكاره» ابراز شد. اما نظریه هایى كه بدین طریق به دست مى آوریم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما دلایل كافى براى رد آنها وجود دارد.

 در هندسه ی اقلیدسی یكسری مفاهیم اولیه نظیر خط و نقطه تعریف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بدیهیات پذیرفته بودند و سایر قضایا را با استفاده از این اصول استنتاج می كردند. اما اصل پنجم چندان بدیهی به نظر نمی رسید. بنابر اصل پنجم اقلیدس از یك نقطه خارج از یك خط، یك خط و تنها یك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد. برخی از ریاضیدانان مدعی بودند كه این اصل را می توان به عنوان یك قضیه ثابت كرد. در این راه بسیاری از ریاضیدانان تلاش زیادی كردند و نتیجه نگرفتند. خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتكر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان كرد كه كاملا مطابق گزاره هایی بود كه چند قرن بعد توسط والیس و ساكری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بیان كردند و هندسه های نااقلیدسی شكل گرفت. بدین ترتیب علاوه بر فلسفه ی طبیعی ریاضیات نیز از انحصار یونانی خارج و در مسیری جدید قرار گرفت و آزاد اندیشی در ریاضیات آغاز گردید.
05779602063004136629.gif

هندسه فضای مادی و هندسه نااقلیدسی و انحنای فضا 
لوباچِفسکی ،‌ کلاین و هانری پوانکاره مدلهایی از هندسه را ایجاد نمودند که در آنها می توان خطوط موازی بی شماری را به موازات یک خط و از نقطه ای خارج از خط رسم نمود.
شایان ذکر است که فقط اصل پنجم اقلیدس است که مورد تردید واقع شده است و سایراصول چهارگانه مورد پذیرش در تمامی هندسه های شناخته شده ی کنونی می باشند . به ویژه اینکه  ، یک خط راست همواره به کوتاهترین مسیری  که دو نقطه در روی یک صفحه را به یکدیگر متصل می نماید ، تعریف می شود .  مدل های بسیار زیادی از هندسه های نااقلیدسی در دو بعد وجود دارند :‌ دیسک پوانکاره ، نیم صفحه ی پوانکاره 
   37955373630497348244.jpg
هرگاه هندسه اقلیدسی سازگار باشد هندسه هذلولوی هم سازگار است بدین ترتیب هر دو هندسه به تساوی سازگارند. اكنون اگر بر اساسی منطقی صحبت كنید می توانید تضمین كنید كه هندسه هذلولوی شایسته آن است كه پا به پای هندسه اقلیدسی حركت كند ولی ممكن است این احساس هم به شما دست داده باشد كه هندسه هذلولوی اصلاً یك سرگرمی فكری است، در حالی كه هندسه اقلیدسی دقیقاً معرف جهان طبیعی است كه ما در آن زندگی می كنیم و در نتیجه اهمیت خیلی بیشتری دارد. اكنون این طرز دید را از نزدیك تر مورد مطالعه قرار می دهیم.
به طور قطع، مهندسی و معماری دو گواه صادق اند بر اینكه هندسه اقلیدسی در اندازه گیری معمولی، فاصله هایی كه زیاد بزرگ نیستند بی اندازه مفید است ولی هنگامی كه با فاصله های بزرگتر سروكار پیدا می كنیم
قدرت نمایش هندسه اقلیدسی كمتر قطعیت دارد. مثلاً اگر از جنبه مادی، خط را به راهی كه یك پرتو نورانی طی می كند تعبیر كنیم می توان مثلث های نجومی كه از ستاره ها تشكیل می شوند را در نظر گرفت و زوایای این مثلث را اندازه بگیریم و تحقیق كنیم كه آیا مجموع زوایای این مثلث ˚180 هست یا نیست به سبب خطای تجربی هرگز یك آزمایش فیزیكی نمی تواند به طور قطع ثابت كند كه فضا اقلیدسی است تنها می تواند اثبات نماید كه فضا نااقلیدسی است.
بحث را ممكن است موشكافانه تر كنیم، باید به ماهیت ابزارهایمان پی ببریم. آیا طرح آنها بر اساس مفروضات اقلیدسی ریخته نشده است؟ باید در تعبیری كه از خط می كنیم شك كنیم؟ آیا ممكن نیست كه پرتوهای نور مسیری منحنی داشته باشند؟ باید تفحص كنیم كه آیا فضا به ویژه فضای با ابعاد كیهانی را نمی توان با هندسه هایی جز این دو توصیف كرد؟
گرایش علمی كنونی طرح پرسش اخیر است. بر طبق عقیده اینیشتن، فضا زمان جدایی ناپذیرند و هندسه فضا-زمان متاثر از ماده است. به طوریكه پرتوهای نور بر اثر جاذبه ثقلی اجرام واقعاً خمیده شده اند. دیگر، فضا به صورت جعبه تهی نیوتنی تصور نمی شود كه سنگهایی كه درون آن گذاشته می شوند تاثیری بر كرانه های آن نداشته باشند. مسئله خیلی پیچپیده تر از آن است كه اقلیدس یا لباچفسكی می پنداشتند هیچ یك از هندسه های آنان برای مفهومی كه اكنون از فضا داریم كفایت نمی كند، این امر از ارزش تاریخی هندسه نااقلیدسی ما نمی كاهد. اینشتین می گوید:" من برای این تعبیر هندسه ارزش زیادی قائلم زیرا اگربا آن آشنا نبودم هرگز قادر به بسط نگره نسبیت نمی شدم. " اینك پاسخ معروف پوانكاره به این پرسش كه كدام هندسه درست است :" اگر هندسه دانش تجربی بود نمی توانست دانشی دقیق باشد و پیوسته دستخوش تجدید نظر می بود، بنابراین بنداشت های هندسی نه شهودهای تركیبی قبلی هستند و نه حقایق تجربی، بلكه قراردادی هستند. پس درباره این پرسش كه آیا هندسه اقلیدسی درست است؟ پرسشی بی معنی است، درست مثل اینكه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاس های قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دكارتی درست و مختصات قطبی نادرست اند؟ هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسه دیگر باشد، تنها ممكن است مناسبتر باشد. "
ممكن است فكر كنید كه هندسه اقلیدسی مناسب ترین هندسه است، باری مهندسی معمولی چنین است،
ولی برای نگره نسبیت نه. از این گذشته، لوئنبرگ ( Luneburg ) مدعی است كه فضای قابل رویت، فضایی كه از راه چشم در مغز ما تعصویر می شود به وسیله هندسه هذلولوی توجیه پذیر است .

هندسه های نا اقلیدسی
اساساً هندسه نااقلیدسی چیست؟ هر هندسه ای غیر از اقلیدسی را نا اقلیدسی می نامند. از این گونه هندسه ها تا به حال زیاد شناخته شده است. اختلاف بین هندسه های نا اقلیدسی و اقلیدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقلیدسی به ازای هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن یك خط می توان موازی با آن رسم كرد.  نقیض این اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از یك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بیش از یكی است. و یا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به این دو نقیض، هندسه های نا اقلیدسی را می توان به دو گروه تقسیم كرد.
1- هندسه های هذلولوی  HYPERBOLIC GEOMETRY
هندسه های هذلولوی توسط بویوئی و لباچفسكی بطور مستقل و همزمان كشف گردید.  اصل توازی هندسه هذلولوی - از یك خط و یك نقطه ی نا واقع برآن دست كم


2- هندسه های بیضوی ELLIPTIC GEOMETRY
در سال 1854 فریدریش برنهارد ریمان نشان داد كه اگر نامتناهی بودن خط مستقیم كنار گذاشته شود و صرفاً بی كرانگی آن مورد پذیرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعدیل جزئی اصول موضوعه دیگر، هندسه سازگار نااقلیدسی دیگری را می توان به دست آورد. پس از این تغییرات اصل توازی هندسه بیضوی بصورت زیر ارائه گردید.  اصل توازی هندسه بیضوی - از یك نقطه ناواقع بر یك خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم كرد.  یعنی در هندسه بیضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح یك كره می توان سطحی شبیه سطح بیضوی در نظر گرفت. این سطح كروی را مشابه یك صفحه در نظر می گیرند. در اینجا خطوط با دایره های عظمیه كره نمایش داده می شوند. بنابراین خط ژئودزیك یا مساحتی در هندسه بیضوی بخشی از یك دایره عظیمه است.
در هندسه بیضوی مجموع زوایای یك مثلث بیشتر از 180 درجه است. در هندسه بیضوی با حركت از یك نقطه و پیمودن یك خط مستقیم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت. همچنین می توان دید كه در هندسه بیضوی نسبت محیط یك
 
انحنای سطح یا انحنای گائوسی
اگر خط را راست فرض كنیم نه خمیده، چنانچه ناگزیر باشیم یك انحنای عددی k به خطی نسبت دهیم برای خط راست خواهیم داشت k=o انحنای یك دایره به شعاع r برابر است با k=1/r.  تعریف می كنند. همچنین منحنی هموار، منحنی ای است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پیوسته تغییر كند. به عبارت دیگر منحنی هموار یعنی در تمام نقاطش مشتق پذیر باشد.
برای به دست آوردن انحنای یك منحنی در یك نقطه، دایره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دایره ی بوسان در آن نقطه است. دایره بوسان در یك نقطه از منحنی، دایره ای است كه در آن نقطه با منحنی بیشترین تماس را دارد. توجه شود كه برای خط راست شعاع دایره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بینهایت است.

برای تعیین انحنای یك سطح در یك نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب كرده و انحنای این دو خط را در آن نقاط تعیین می كنیم. فرض كنیم انحنای این دو خط k1=1/R1 and k2=1/R2 باشند.
آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب این دو انحنا، یعنی     k=1/R1R2
انحنای صفحه ی اقلیدسی صفر است. همچنین انحنای استوانه صفر است: k=0
برای سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است : 0 >k
برای سطح بیضوی همواره انحنا مثبت است:  0<k 
در جدول زیر هر سه هندسه ها با یكدیگر مقایسه شده اند:
 نوع هندسه      تعداد خطوط موازی   
 مجموع زوایای مثلث  نسبت محیط به قطر دایره
 اقلیدسی  یك  180  عدد پی
 هذلولوی  بینهایت  < 180  > عدد پی
 بیضوی  صفر  > 180  < عدد پی

نوشته شده در تاریخ سه شنبه 8 فروردین 1391    | توسط: دانشجو سرائیان    |    |
نظرات()